Determinan Matriks

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A2×2



untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad – bc.

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = – 4 + 3 = 1(-3) – 4(-8) + 3(-7) = 8

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A3×3


A =


Kofaktor dari matriks A adalah


C11 = -12 C12 = 6 C13 = -16


C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16


C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16


maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah




untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom


adj(A) =

Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

Contoh

= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik

dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b


Contoh soal:

Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini


x1 + 2x3 = 6


-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30


-x1 – 2x2 + 3x3 = 8


Jawab:


bentuk matrik A dan b


A =


kemudian ganti kolom j dengan matrik b


A1 = A2 = A3 =


dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas maka.